在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。 举个例子，我们来计算阶乘 `n! = 1 x 2 x 3 x ... x n`，用函数 `fact(n)`表示，可以看出： **f**a**c**t**(**n**)**=**n**!**=**1**×**2**×**3**×**⋅**⋅**⋅**×**(**n**−**1**)**×**n**=**(**n**−**1**)!**×**n**=**f**a**c**t**(**n**−**1**)**×**n 所以，`fact(n)`可以表示为 `n x fact(n-1)`，只有n=1时需要特殊处理。 于是，`fact(n)`用递归的方式写出来就是： ```python def fact(n): if n==1: return 1 return n * fact(n - 1) ``` []( "复制到剪贴板") 上面就是一个递归函数。可以试试： ```plain >>> fact(1) 1 >>> fact(5) 120 >>> fact(100) 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 ``` []( "复制到剪贴板") 如果我们计算 `fact(5)`，可以根据函数定义看到计算过程如下： ``` => fact(5) => 5 * fact(4) => 5 * (4 * fact(3)) => 5 * (4 * (3 * fact(2))) => 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1)))) => 5 * (4 * (3 * (2 * 1))) => 5 * (4 * (3 * 2)) => 5 * (4 * 6) => 5 * 24 => 120 ``` 递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。 使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试 `fact(1000)`： ```plain >>> fact(1000) Traceback (most recent call last): File "", line 1, in File "", line 4, in fact ... File "", line 4, in fact RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison ``` []( "复制到剪贴板") 解决递归调用栈溢出的方法是通过**尾递归**优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。 尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。 上面的 `fact(n)`函数由于 `return n * fact(n - 1)`引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中： ```python def fact(n): return fact_iter(n, 1) def fact_iter(num, product): if num == 1: return product return fact_iter(num - 1, num * product) ``` []( "复制到剪贴板") 可以看到，`return fact_iter(num - 1, num * product)`仅返回递归函数本身，`num - 1`和 `num * product`在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。 `fact(5)`对应的 `fact_iter(5, 1)`的调用如下： ``` => fact_iter(5, 1) => fact_iter(4, 5) => fact_iter(3, 20) => fact_iter(2, 60) => fact_iter(1, 120) => 120 ``` 尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。 遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的 `fact(n)`函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。 ### 练习 [汉诺塔](https://baike.baidu.com/item/%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94)的移动可以用递归函数非常简单地实现。 请编写 `move(n, a, b, c)`函数，它接收参数 `n`，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法，例如： ```python def move(n, a, b, c): if n == 1: print(a, '-->', c) # 期待输出: # A --> C # A --> B # C --> B # A --> C # B --> A # B --> C # A --> C move(3, 'A', 'B', 'C') ``` []( "复制到剪贴板") ### 参考源码 [recur.py](https://liaoxuefeng.com/books/python/function/recursive-function/recur.py) ### 小结 使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。 针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。 Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。